ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г.Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru

519.65, 519.633

DOI

10.21685/2072-3040-2017-1-7

Актуальность и цели. Задача распространения теплового поля занимает одно из центральных мест в целом ряде проблем физики и техники. Уравнения теплопроводности находят применение во многих областях физики и техники, среди которых можно, в частности, назвать геофизику, термодинамику, теорию диффузии и т.д. Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, их решения сложные и неоднородные по своим свойствам, часто вовсе не допускают аналитического представления, а процесс их решения оказывается весьма трудоемким. В связи с этим актуальной является разработка достаточно простых методов аппроксимации тепловых полей и решения соответствующих параболических уравнений, позволяющих наилучшим образом использовать возможности современной вычислительной техники. Наиболее привлекательными с этой точки зрения являются разностные методы благодаря их простоте и эффективности.
Материалы и методы. Проводимое в настоящей статье построение явных разностных схем решения одномерного уравнения теплопроводности основывается на принадлежности тепловых полей функциональным классам специального вида, обозначенным как P_r,_y,_a D,M,M₁,a. Для этих классов в более ранней работе авторов были построены локальные сплайны, оптимальным по точности образом аппроксимирующие принадлежащие этим классам функции. Узлы этих локальных сплайнов используются в данной работе в качестве узлов неравномерных сеток узлов при построении адаптивных разностных схем решения уравнения теплопроводности.
Результаты. Приведен краткий обзор более ранних результатов, касающихся классов P_r,y,a D,M,M_1,a, включающих в себя тепловые поля, а также построения локальных сплайнов, оптимальным по точности образом аппроксимирующих функции этого класса. На основе этих результатов подробно описано построение и применение адаптивных разностных схем приближенного решения уравнения теплопроводности. На конкретных примерах проведено сравнение аппроксимаций тепловых полей локальными сплайнами на равномерной и адаптивной сетках узлов, а также решения уравнения теплопроводности на упомянутых сетках узлов. Полученные результаты подтвердили эффективность построенных схем.
Выводы. Авторами предложены устойчивые разностные схемы, обеспечивающие лучшую аппроксимацию тепловых полей при существенно меньших затратах вычислительных ресурсов. Результаты работы могут использоваться при численном моделировании широкого круга задач теплоразведки. 

Ключевые слова

оптимальная по точности аппроксимация, функциональный класс, тепловые поля, параболические уравнения, адаптивные разностные схемы

Скачать статью в формате PDF

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – Москва ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2002. – 848 с.
2. Бабенко, К. И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Н. Н. Анучина, К. И. Бабенко, С. К. Годунов, Н. А. Дмитриев. – М. : Наука, 1979. – 296 с.
3. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. – 1985. – Т. 40, № 1. – С. 3–28.
4. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский. – Минск : Критерий, 1996. –273 с.
5. Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В. П. Ильин. – Новосибирск : Изд-во Инст. математики, 2000. – 345 с.
6. Вабищевич, П. Н. Разностные схемы на локально сгущающихся сетках / П. Н. Вабищевич, Г. И. Шишкин // Дифференциальные уравнения. – 1995. – Т. 31, № 7. – С. 1179–1183.
7. Жу ков, В. Т. Об одном направлении в конструировании разностных схем /В. Т. Жуков, Л. Г. Страховская, Р. П. Федоренко, О. Б. Феодоритова. // Вычислительная математика и математическая физика. – 2002. – Т. 42, № 2. – С. 222–234.
8. Бахвалов, Н. С. Об автоматическом конструировании сетки интегрирования при решении краевых задач с пограничным слоем / Н. С. Бахвалов. // Вычислительная математика и математическая физика. – 1999. – Т. 39, № 8. – С. 1290–1295.
9. Бойков, И. В. Оптимальные методы аппроксимации тепловых полей / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин, В. А. Рязанцев. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). –С. 5–16.
10. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 400 с.
11. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Вычислительная математика и математическая физика. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
12. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. – 236 с.
13. Boykov, I. V. Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics / И. В. Бойков // URL: arXiv.math 1303.0416
14. Бойков, И. В. О приближенном методе восстановления потенциальных полей / И. В. Бойков, М. В. Кравченко, В. И. Крючко // Известия РАН, Физика Земли. –2010. – Т. 46, № 4. – С. 67–77.